UM POUCO DE HISTÓRIA...

   Os primeiros estudos da matemática grega tinham um objetivo principal: compreender o lugar do homem no universo de acordo com um esquema racional. A matemática ajudava a encontrar a ordem no caos, a ordenar as idéias em sequências lógicas, a encontrar princípios fundamentais. Era a mais racional de todas as ciências e, embora existam poucas dúvidas quanto à aquisição da Matemática Oriental pelos mercadores gregos, através das suas rotas comerciais, os Gregos descobriram  que os Orientais tinham deixado por fazer a maior parte da sua racionalização.

          Porque é que a área de um triângulo era igual a metade da área de um retângulo com a mesma base e altura? Esta questão surgia naturalmente ao homem que fazia perguntas semelhantes em outras áreas.

          Pela primeira vez na história (sec. V A.C.), um grupo de homens críticos, os "sofistas" abordavam problemas de natureza matemática como parte de uma investigação filosófica do mundo natural e moral, desenvolvendo uma matemática mais no espírito da compreensão do que da utilidade. Existe um fragmento da atitude mental dos Sofistas, que apresenta raciocínios matemáticos com um assunto curioso e pouco válido, as chamadas lunulae-as pequenas luas ou crescentes delimitados por dois arcos circulares. O assunto (encontrar determinadas áreas delimitadas por dois arcos circulares que podem ser expressos racionalmente em termos dos diâmetros) relaciona-se diretamente com o problema da quadratura do circulo, que constitui um problema central na Matemática grega.

        Hipócrates (sec. V A.C.) investigou as áreas de figuras planas delimitadas por linhas retas ou por arcos circulares. Ensinou que as áreas se segmentos circulares semelhantes estavam entre si como os quadrados das suas cordas. A sua obra já se situa naquilo  que podiamos chamar tradição euclidiana.

        O problema da quadratura do círculo é um dos "três famosos problemas matemáticos da antiguidade" que começavam a constituir objeto de estudo neste período. Estes problemas eram os seguintes:  

               1- A trissecção do ângulo                

              2- Duplicação do cubo

              3- Quadratura do círculo

      Pelo menos três grandes matemáticos deste período estiveram ligados à academia de Platão, nomeadamente Arquitas, Teleto e Eudoxo. O nome de Eudoxo (408-355 A.C.) está ligado à teoria das proporções, que Euclides dá no seu quinto livro, e também ao chamado "método da exaustão", que permitiu um tratamento rigoroso dos cálculos das áreas e volumes.

      A teoria das proporções de Eudoxo pôs de parte a teoria aritmética dos pitagóricos, que se aplicava apenas a quantidades comensuráveis. Era uma teoria puramente geométrica, que , na sua forma axiomática, tornava superflua qualquer referência a grandezas comensuráveis ou incomensuráveis.

      O método da exaustão, tornou-se o modelo grego e do Renascimento nas demonstrações de cálculo de áreas e volumes, era muito rigoroso e pode ser facilmente traduzido numa prova que satisfaça as exigências da análise moderna. Tinha a desvantagem de o resultado, para ser provado, precisar de ser conhecido antes.

        Mais tarde, Euclides (sec. III A.C.) foi responsável pelo desenvolvimento da matemática no cálculo das áreas. O raciocínio algébrico em Euclides é expresso totalmente numa forma geométrica. A expressão “raiz de A” é introduzida como sendo o lado de um quadrado de área A e o produto ab como sendo a área de um retângulo de lados a e b. As equações lineares e quadráticas são resolvidas por construções geométricas conduzindo à chamada "aplicação das áreas".

        O maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade foi Arquimedes (287-212 A.C.). As mais importantes contribuições de Arquimedes na Matemática foram feitas no domínio daquilo a que agora chamamos "Cálculo Integral" - teoremas sobre áreas e figuras planas e sobre volumes de corpos sólidos. No livro de Arquimedes sobre "A esfera e o cilindro" encontramos a expressão para a área da esfera (apresentando como sendo quatro vezes a de um circulo máximo). A expressão de Arquimedes para a área de um segmento parabólico ( quatro terços da área de um triângulo inscrito com a mesma base que o segmento da parábola e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base. 

       Em todos estes trabalhos, Arquimedes combinou uma originalidade de raciocínio surpreendente com uma mestria de técnica de cálculo e rigor na demonstração. É característico desse rigor o "axioma de Arquimedes" e o uso correto do método da exaustão para provar os resultados das suas integrações.  Arquimedes diferia da maior parte dos matemáticos gregos pela sua capacidade de cálculo.

      Com o terceiro grande matemático helenístico, Apolónio de Perga (250-205 A.C.), encontramo-nos de novo inteiramente na geometria tradicional. Escreveu um tratado sobre a elipse, a parábola e a hiperbole, introduzidas como secções de um cone circular e, vai até à discussão das evolutas de cônicas. Conhecemos estas cônicas pelos nomes encontrados em Apolónio, referem-se a certas propriedades das áreas dessas curvas.

         Já no sec. XVII que Bonaventura Cavallieri (1635), professor da Universidade de Bolonha,estabeleceu uma forma simples de cálculo, baseando-se na concepção escolástica de indivisível, o ponto gerando a reta e a reta gerando o plano através do movimento. Então, adicionou segmentos de reta para obter uma área e segmentos de plano para obter um volume, mas quando Torricelli (1608-1647) lhe demonstrou que dessa forma se podia provar que qualquer triângulo é dividido por uma altura em duas partes iguais, ele substitui "linha" por "faixa" , ou seja, uma linha de pequena espessura, e assim voltou a uma teoria atômica. As suas idéias sobre linhas que construíam uma área conduziram-no ao correto principio de Cavallieri , o qual afirma que sólidos de altura igual têm o mesmo volume se as secções planas de altura igual tiverem a mesma área.   

Admitindo que os raios solares são paralelos entre si, calcula a altura da árvore.

Resolução: 

Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes, pois possuem dois ângulos geometricamente iguais, cada um a cada um, de um para o outro dos triângulos.

Consequentemente, os lados correspondentes têm comprimentos diretamente proporcionais.

Assim, temos:

AB¯¯¯¯¯1,80=9,452,70⇔AB¯¯¯¯¯=1,80×9,452,70⇔AB¯¯¯¯¯=6,3

Portanto, a árvore tem 6,3 metros de altura.

Conta-se que Thales de Mileto (séc. VI a.C.), considerado por alguns autores como um dos sete sábios da Antiguidade, se ofereceu para determinar a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento.

Segundo a lenda, a prova ter-se-á realizado na presença do faraó Amasis. Thales espetou perpendiculamente ao chão a sua bengala e mediu as sombras da bengala e da pirâmide. Após os cálculos rápidos, Thales obteve a resposta desejada.

Em que se baseou o raciocinio de Thales?

Observe cuidadosamente as figuras, suponha  que a aresta da base da pirâmide de Quéops  tem 230 m de comprimento, a sombra da pirâmide e da bengala são,  respetivamente,  323 m  e 2,5 m e que a bengala tem 80 cm de comprimento. Qual a altura da pirâmide?

Exercícios de Triangulo Semelhantes

1- Um prédio tem sombra, pela luz solar, projetada no solo horizontal com 70 m. Simultaneamente um poste de 8m de altura localizado nas proximidades deste prédio também tem sua sombra projetada no solo. Sabendo que neste instante os raios solares fazem um ângulo de 45° com o solo, calcule a altura do prédio e a sombra do poste que, respectivamente, são:

A) 70 m e 8 m
B) 35 m e 8 m
C) 70 m e 4 m
D) 35 m e 4 m
E) 20 m e 8 m

2- Um prédio tem sombra, pela luz solar, projetada no solo horizontal com 70 m. Simultaneamente um poste de 8m de altura localizado nas proximidades deste prédio tem sombra do mesmo tipo com 14 m. Calcule a altura do prédio.

A) 10 m
B) 20 m
C) 35 m
D) 40 m
E) 80 m

3- Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:

Se AR = OE, então:

(A) OE < TO
(B) AE < ER
(C) OE = TO
(D) AE = ER
(E) AR + TE > TO

4- 

 Plano de Aula

- Tema: Semelhança de Triângulos.

- Objetivo Geral: Abordar a semelhança entre dois triângulos com o foco na identificação da congruência entre os ângulos correspondentes.

- Habilidades: 

  a) H21 - Reconhecer a semelhança entre figuras planas a partir da congruência das medidas angulares e da proporcionalidade entre as medidas lineares correspondentes.

   b) H24 - Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lado e ângulos.

- Objetivo Específico:

 a)Identificar a correspondência entre ângulos congruentes de dois triângulos semelhantes;

 b)Estabelecer proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes de triângulos semelhantes.

- Justificativa: Reconhecer a congruência entre os ângulos com base na correta nomenclatura (correspondentes, alternos, oposto pelo vértice, etc.)

- Procedimentos: Resolução de situações-problema contextualizadas.

- Recursos: (régua/esquadro, tangram, geogebra, confecção das formas planas.

- Avaliação: Propor situações-problema envolvendo a semelhança de triângulos na geometria plana.

- Recuperação: Retomada de conteúdo: Conceito de geometria, ângulos, noção de semelhança, proporção, razões trigonométricas.

Minhas experiências de leitura e escrita

         Viajei muito para o interior quando criança, para ficar acordado, observava as placas dos carros letras e números, acredito que tive uma enorme facilidade quando entrei na escolinha, tudo para mim eram os números. Em casa meu pai lia gibis no sofá, que maravilha.

     Quase todo dia, meu pai desligava a TV para conversarmos, muito tímido, pois meu irmão mais velho era o que gostava de contar, e quando chegava minha vez, procurava falar o mínimo, pois já estava cansado daquilo tudo, o tempo foi passando e me interessei  pela coleção de selos e notas de vários países que meu pai tinha, foi ai que procurei  ler a historia e descobri muitas coisas, “busquei o interesse do saber” a língua, costumes, cultura, até fuso horário queria saber.

     Encontrávamos todos da família nos finais de semana na casa da minha avó, gostava de brincar de teatro, adorava contar historias para meus primos, brincávamos de fantoches, fazíamos ritmos com panelas e copos, gostava de crianças, tinha paciência, respeitando-as, ensinando-as, brincávamos de jogos acertando as sequência de números.

     Em casa muitas vezes meu pai assistia filmes conosco e tínhamos que se preparar, pois sabíamos que ao acabar, corríamos para o papel para escrever, identificando o que o filme trazia de bom, qual era o papel principal do filme, uma bela pratica divertida. Quando ainda criança, todo ano a escola exigia que tínhamos que ler 2 livros por bimestre, coleção vaga-lume, mamãe e eu lemos toda coleção, não era mais exigido, gostávamos de ler, tenho até hoje.

     Com o tempo a música foi minha segunda leitura diferente e especial, perdia dias ensolarados para tocar piano ou cantar aprendi muitas coisas. Hoje quando sobra tempo, sento no sofá para ler uma historinha para a minha filha de 3 anos, como ela gosta, é como se fosse ontem "Eu sentado com o meu Pai", lindas lembranças.

     Dou aulas de Matemática já faz 20 anos em Escolas Estaduais, atualmente à 13 anos, leciono na Escola Estadual Carlina Caçapava de Mello, um dia na semana em todas as séries, introduzo jogos lúdicos como xadrez, dama, uno, gamão, dominó, jogo da memória, quebra cabeça, sudoku e atualmente  rummikub. Acredito que tudo isso irá fortalecer a memória, o raciocínio, a lógica, e outros aspectos fundamentais para o crescimento  intelectual dessas alunos.

     Minha esposa é professora de português e leciona na mesma escola hoje.

Poesia Matemática

Acho incrível o poema escrito por Millôr Fernandes, intitulado Poesia Matemática. Ele é perfeito! Eu sempre leio para meus alunos, que gostam muito. Ficam tentando descobrir quais elementos matemáticos citados no texto eles já conhecem. Assim, divido-o com vocês, caros amigos.


Poesia Matemática

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma incógnita.
Olhou-a com seu inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
uma perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira, afinal,
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
frequentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como, aliás, em qualquer
sociedade.

Crônica das Primeiras Leituras

Casa na Rua Francisco Otaviano em Santo André

Por Rui Costa Barbosa

Naqueles tempos quase todas as casas tinham varandas. A maioria era na frente, mas na nossa, na Rua Francisco Otaviano a varanda era ao lado e se entendia por todos os cômodos. A casa, hoje já desgastada pelo tempo, completamente fora de moda, ainda resiste bravamente, tanto quanto a nostalgia de revê-la sempre que posso. Ela fica quase em frente à Rua General Câmara, que desce até encontrar a Rua Francisco Otaviano. Naquela época em uma das esquinas havia um grande terreno vazio (hoje apenas cercado por muros) e na outra havia uma torrefação de farinha de milho. Parece que mais tarde a casa de farinha cedeu lugar a uma pequena fábrica de sorvetes. Hoje o local está completamente fechado, tendo suas portas lacradas por parede de alvenaria.

As manhãs eram mornas no outono. Momentos indicados para a leitura do jornal Última Hora enquanto se aquecia com os raios do Sol, à espera da hora de sair para o trabalho numa empresa de cabos e fios elétricos. Tio Francisco metodicamente lá estava. Era irmão de meu pai e morava conosco desde que eu era ainda tão pequeno que não me lembro de quando ele chegara. Era solteiro, figura esguia, nariz aquilino, já um tanto calvo, ria aos soquinhos, risada inconfundível. Lia a manhã toda e às vezes discutia política com meu pai. Tio Francisco era um personagem íntimo da família. Sempre calmo e muito educado. Não chegava a ser erudito, mas não decepcionava quanto aos assuntos cotidianos. Vivíamos os últimos anos da década de 50, ainda não eram famosos Chacrinha, Hebe Camargo, Silvio Santos, os Beatles, Roberto Carlos e todos os astros e estrelas que aproveitariam o novo meio de comunicação, a TV, para conquistarem o grande público. Em nossa casa ainda não tínhamos um aparelho de televisão. Era muito caro e meu pai,  empregado em uma metalúrgica, não tinha condições de comprar. Na época só existiam as TVs em preto e branco, nem se pensava nas TVs em cores. O máximo que alguns faziam era colocar uma película colorida em frente à tela para conseguir um efeito diferente. Mas nossos vizinhos, dos quais não recordo os nomes, tempos depois compraram uma TV e, compreensíveis, instalaram-na em sua sala em local que pudesse ser vista de nossa casa, desde que as janelas de ambas as casas estivessem abertas. Assim comecei a ver as primeiras letras, pois naquela época as emissoras mantinham letreiros comerciais por vários minutos na tela.

Tio Francisco certamente observou o meu interesse precoce pela leitura e decidiu alfabetizar-me por meio da leitura do jornal. Diariamente me colocava entre si e o jornal aberto á sua frente e começou a apresentar-me inicialmente as letras, depois as palavras e enfim as frases. Não tínhamos muitas opções de lazer. Os brinquedos que dispúnhamos eram todos construídos de materiais, como piões, pipas, arcos, os quais empurrávamos rua afora impulsionando-os por um arame convenientemente dobrado em “u” em sua extremidade inferior, pneus (que naquela época não eram escolhidos para residência de mosquitos da dengue), balanços improvisados, etc. Brincavam-se muito brincadeiras em grupos, como “cabra-cega”, “esconde-esconde”, “uma na mula”, etc. Não iria ver um jogo eletrônico nos próximos muitos anos.

Tio Francisco, paciente e amigo, em pouco tempo conseguiu que eu lesse: primeiro as manchetes, as letras grandes, que anunciavam a candidatura à presidência da república de uma figura magra, cabelo em desalinho, falante e persuasivo, que bradava o lema da limpeza na política, manobrando sua vassourinha com a qual pretendia varrer a corrupção no país, depois os textos propriamente ditos. Naquela época minha avó, Dona Maria, senhora austera embora acessível, resolveu levar-me em uma das viagens que fazia com certa freqüência para São José dos Campos, aonde tinha parentes. Assim que o Cometa começou a percorrer a Dutra vários “out-doors” (eles ainda não eram conhecidos assim) com propagandas de meias, ceras, pastas dentais e enceradeiras elétricas chamavam a atenção de todos. De alguns deles eu conseguia ler bem as mensagens o que arrancou elogios dos adultos e produziu indisfarçável orgulho na vovó.

Progressões Geométricas

Numa corrida a diferença entre o 2º corredor com o 1º corredor é de 9 segundos e a diferença entre o 5º corredor e o 4º corredor é de 9 minutos e 36 segundos. Descubra a razão do 1º corredor dessa progressão geométrica. 

Funções

Se f (3) = 2
e
f (x+3) = f (x) . f (3)

então

f (-3) = ?